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IA8 - 機率方法在圖像去噪之應用Part 1: Binary image

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在IA4的文章裡我們提到了傳輸一張binary image後，有可能會受到干擾導致圖片被污染，裡面討論了復原的方法，像是一次傳輸多張照片，最後用投票的方式來決定該像素的顏色應該取\(+1\)還是\(-1\)，因為如果噪聲是隨機的，那麼不太可能同個位置超過一半的像素都是錯的。但這個方法有個缺點，就是必須一次傳輸多張相同的圖片才能達到良好的修復效果，可是這非常地消耗數據傳輸量以及講究頻寬的大小，這對應到成本的增加，尤其是當我們要傳輸高傳真的訊號時。那麼是不是有什麼方法，可以單從一張收到的影像中去回推原始未受到污染的圖片，我想要用兩篇文章來探討，我採用由簡入繁的方式，第一篇這裡我們先處理binary image的情況，在下篇我們再進一步處理彩色的照片。 一、從圖模型檢視雜訊圖像 在IA7裡我們談到了修復刮花圖像的技術，出於圖像毀損的狀態，所以我們當初設定是刮花處與真實圖像之間並無關聯，但對於雜訊圖像則情況不同，因為這些在圖像上的雜訊，可能是原來的像素加上一個擾動值，假設真實的像素值是\(x\)，那麼加上噪聲後新的像素\(y\)就可以表示成 \[ y = x + n\tag{1} \] 其中\(n\)表示噪聲。這種加上擾動值\(n\)最常假設的生成方式便是均值為0的高斯噪聲。 　從Eq. (1)中我們假設了一個簡單的關係式。由於一整張圖片是由非常多的像素所構成一個W×H的網格，或稱陣列，其中W和H分別表示圖像寬和高所對應的像素數量，我們可以用 圖模型 (graphical model, GM) 來對應真實無雜訊的圖像\(\mathbf{x}\)和觀測到存在噪聲的圖像\(\mathbf{y}\)之間的關係，見圖1，粗體字表示圖像是一個陣列而非純量。 圖1. 利用圖模型來推論真實圖像和雜訊圖像之間的關係 　我們認為真實圖像\(\mathbf{x}\)的每一個像素 (圖1中橘色實心的節點) 和周遭的像素都有關連，所以我們用紅色的實現將之連起，例如一張照片中一張人臉上任一處肉色的圖像一定和周圍皮膚的顏色有關聯，而不會和遙遠處天空的藍色有關聯。但我們觀測到的圖像\(\mathbf{y}\)已經被某些未知雜訊的生成機制所破壞，所以原則上這些像素點之間並不存在關聯，就如同圖1中藍色的空心節點，它們構成我們所見的圖案，彼此間沒有線將它們串連起來。而這個...
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數學雜記1: 使用Poisson分佈推導Stirling近似

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Stirling 近似公式 (Stirling's approximation)，或者表示成\[\ \ln n! \simeq n\ln n - n \]當\(n\)極大的時候，Stirling近似和精確值如圖1所示。 圖1.  \(\ln \lambda !\)精確值 (藍)、Stirling 近似公式 (橘) 與利用 Poisson 分佈所推導含NLO項的值 (綠) 　關於這條近似公式我們有一個簡單的推導，可以從 Poisson 分佈著手，其表示式如下\[ P(n|\lambda)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}. \]而當\(\lambda\)很大 (\(>10\)) 的時候，Poisson分佈在\(n\sim \lambda\)附近可以被一個平均值和變異數皆為\(\lambda\)的高斯分佈來近似，即\[ e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi \lambda}}e^{-\frac{(n-\lambda)^2}{2\lambda}} \]取\(n=\lambda\)我們有\[\begin{eqnarray*} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{\lambda}}{\lambda!}&\simeq&\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\\\Rightarrow\lambda!&\simeq&\lambda^\lambda e^{-\lambda}\sqrt{2\pi \lambda} \end{eqnarray*} \]等式兩邊取\(\ln\)後我們得到\[ \ln \lambda! \simeq \lambda \ln \lambda -\lambda + \frac{1}{2}\ln 2\pi \lambda \]即 Stirling 近似公式！其中最後一項\(\frac{1}{2}\ln 2\pi \lambda\)為 next-to-leading-order 修正 (NLO correction)，我們從 Poisson 分佈出發的解在\(\lambda \gtrsim 0.2\)時似乎比原來的近似公式還要來的更接...
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物理雜記3 - Ising模型與模擬退火

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Ising模型主要是用來描述物質的鐵磁性 (ferromagnetism)，是由德國物理學家Ernst Ising在1920左右提出了處理一維的解析解。該模型包含了每個晶格上原子的自旋 (spin) 參數，兩兩相鄰的原子彼此間可以是偏好處在共同的態上 (都是自旋向上)  或是處在相反的態上 (一上一下)，而外部的磁場會對該晶格上的自旋狀態施加能量，導致其偏向某一個方向。在這篇文章裡，我們不重複Ising當年複雜的數學解析解，而且該解也只能適用在1D的狀態，對於2D以上的系統目前並沒有解析解，所以我們將要另闢蹊徑，採用MCMC模擬的方式來決定一個系統終態每個晶格上自旋的排列情形。 一、Ising模型簡介 考慮一個由圖1所構成的晶格系統，晶格上的點都代表一顆原子，而黑白則表原子的自旋狀態，我們用黑表示向下而白表示向上，所以這個binary系統可以用更簡潔的\(\pm 1\)來表示每個原子可能的自旋 (即這個系統的樣本空間\(\Omega=\{+1,-1\}\))，另外為了方便，我們採用物理學的習慣將自旋表示為希臘字母\(\sigma_{n}\)，下標\(n\)可以想像成在 n 處原子的自旋態。原則上討論的都是一個由費米子 (fermions) 構成的系統，所以自旋應該用\(\pm \frac{1}{2}\)來表述，但在計算機上我們用\(\pm 1\)比較乾脆且簡潔。另外補充一下冷知識自然界已知的物質幾乎由費米子構成，僅有媒介作用力的粒子是玻色子 (bosons)，它們的差別在於費米子有半整數 (即不能約化成整數的分數) 自旋而玻色子則是整數自旋。 圖1. 晶格系統，黑白點分別代表該處原子的自旋狀態，黑表向下，白表向上。紅色的箭頭指出中心原子的4位鄰居\(m\) 　Ising模型假定了每個晶格上的原子的自旋都會受其鄰居 (neighbors \(\mathcal{N}\)) 的狀態影響，例如圖1中間白色的原子雖然他在這一刻是處在\(+1\)的狀態，但根據其週邊四個鄰居 (分別是3白1黑) 的況，它仍有一定的機會會在下一刻翻轉自旋的狀態。 　對一個給定位置 n 的原子，它和它的周圍鄰居構成的局部區域 (local area) 形成的一個系統的能量由Ising模型給出 \[ E_n = -\sum_{m\in \mathcal{N...
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