PS4 - 小專題: 第五種力?! 來自未知的貢獻
在粒子物理學中，我們已知自然界有四種基本的作用力：重力、電磁力、弱力和強力1，以及數以百計的基本粒子2，這些粒子與作用力構成了人類已知的宇宙，描述它們的理論即稱為標準模型 (Standard Model)，處在標準模型的粒子都是能夠透過人類建造在地面上的實驗所量測，但目前有一些觀測和理論預言了其他可能的粒子存在，像是暗物質或超對稱粒子，他們便不屬於標準模型的範疇，標準模型也沒有容納這些新粒子的空間，所以我們認為標準模型只是一個有效理論 (effective theory)，亦即它不是普適的而是只在某種狀態下是可以描述這個宇宙的 (比如說當物質所帶的能量超過某著閾值後，標準模型便不能正確的描述他的行為了)，超出這個狀態外，標準模型便不適用了。所以找到一個普適的理論，便是理論物理學所追尋的聖杯 (holy grail)。
有一種探測器叫做微中子 (neutrino, \(\nu\)) 探測器，微中子由於與其它標準模型例子的作用力非常弱，亦即非常不容易發生反應，為了增加反應的數量 (數量\(\neq\)率，兩者是不一樣的東西哦! )，我們通常會把探測器蓋的極大，或者乾脆就用地球上的物質像是水或者是南極的冰來做反應的媒介，我們只要將偵測器分散並埋/架在冰層/海洋裡一個非常巨大的空間，我們就有機會量到微中子和冰或水發生反應產生的光訊號。
這類探測器最主要的訊號通常是來自宇宙射線和大氣反應碰撞後產生的次級粒子 (secondary particles，像是\(\mu\)介子和\(\tau\)介子) 所衰變而來的。人類對宇宙線的組成與能量譜的分布已有一定程度的了解，對大氣的組成也是，意思就是說這些來自宇宙線和大氣所產生的微中子來到探測器的行為可以被良好的計算出來。假設在給定 (或有興趣的) 的能量區間裡，在探測器裡每年預期會量到b顆大氣微中子，b顆大氣微中子是我們的平均 (來自標準理論的預測)，又稱作背景事件 (background event，所以我們用b這個符號來表示)，但每年來到探測器裡的微中子可能不會一樣，而是一個分布，這個分布可以用Poisson分布來描述。就像是在每週裡會接到多少通詐騙電話一樣，每年會量到幾顆微中子也是相同的道理XD 圖1是一個大氣微中子每年在探測器裡被量到的數量分布圖，我們將它透過標準化轉成z-score的分布以方便檢驗。
1 在能量極高 (溫度很高的同義詞) 的狀態下，電力和弱力可以統合成同一種數學表述，叫做電弱力。大部分的理論物理學家相信在太初大霹靂 (差不多就是神說要有光的那一刻!!!) 的時候，這四種力會統合成單一種表述，不過目前沒有證據也沒有決定性的數學理論來描述
2 不包含暗物質及超伴子。暗物質假想是使星系成為星系並維持其運作的基本物質，天文學觀測已經有強烈的證據認為暗物質 (或能產生相同效應的東西) 需要存在，但由於與一般物質的作用力太微弱，目前尚未觀察到暗物質粒子直接的證據。超伴子 (sparticle) 是超對稱理論預言的產物，目前沒有證據支持超對稱理論的存在 (但也沒有否證它的存在XD，只能說inconclusive)
2 不包含暗物質及超伴子。暗物質假想是使星系成為星系並維持其運作的基本物質，天文學觀測已經有強烈的證據認為暗物質 (或能產生相同效應的東西) 需要存在，但由於與一般物質的作用力太微弱，目前尚未觀察到暗物質粒子直接的證據。超伴子 (sparticle) 是超對稱理論預言的產物，目前沒有證據支持超對稱理論的存在 (但也沒有否證它的存在XD，只能說inconclusive)
一、眾裡尋它千百度：新物理
所以我們到底怎麼建造探測器，並確定探測器所量到的數據是符合標準模型的還是與標準模型有偏差的？這些新物理都是來自未知的理論與現象，根本無法估量，更別說預測新物理可能的行為了。雖然有不少建模專家，致力於建造一個比標準模型更廣泛的理論並給出預測，像超對稱理論便是，不過理論就是理論，在沒真的被測量到以前，都只是紙上談兵！而對實驗學家而言，這些百家爭鳴的理論沒有一個是重要的，反正都是理論學家在嘴砲而已，真正重要的是已知的東西，把已知的東西搞清楚後，我們才能談論什麼叫做未知！有一種探測器叫做微中子 (neutrino, \(\nu\)) 探測器，微中子由於與其它標準模型例子的作用力非常弱，亦即非常不容易發生反應，為了增加反應的數量 (數量\(\neq\)率，兩者是不一樣的東西哦! )，我們通常會把探測器蓋的極大，或者乾脆就用地球上的物質像是水或者是南極的冰來做反應的媒介，我們只要將偵測器分散並埋/架在冰層/海洋裡一個非常巨大的空間，我們就有機會量到微中子和冰或水發生反應產生的光訊號。
這類探測器最主要的訊號通常是來自宇宙射線和大氣反應碰撞後產生的次級粒子 (secondary particles，像是\(\mu\)介子和\(\tau\)介子) 所衰變而來的。人類對宇宙線的組成與能量譜的分布已有一定程度的了解，對大氣的組成也是，意思就是說這些來自宇宙線和大氣所產生的微中子來到探測器的行為可以被良好的計算出來。假設在給定 (或有興趣的) 的能量區間裡，在探測器裡每年預期會量到b顆大氣微中子，b顆大氣微中子是我們的平均 (來自標準理論的預測)，又稱作背景事件 (background event，所以我們用b這個符號來表示)，但每年來到探測器裡的微中子可能不會一樣，而是一個分布，這個分布可以用Poisson分布來描述。就像是在每週裡會接到多少通詐騙電話一樣，每年會量到幾顆微中子也是相同的道理XD 圖1是一個大氣微中子每年在探測器裡被量到的數量分布圖，我們將它透過標準化轉成z-score的分布以方便檢驗。
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| 圖1. 每次對撞時所產生的標準粒子數量可能的分布 |
還記得標準化的過程，我們用與這個例子有關的符號來表示：\[z=\frac{k-b}{\sigma},\tag{4.1}\]其中k是探測每年量到的微中子數，b是預期來自背景微中子的數量 (即平均)，\(\sigma\)是標準差，對Poisson而言\(\sigma=\sqrt{b}\)。原始的數據分布圖橫軸是每年量到的微中子數量，經過標準化的變換後變成圖1，橫軸0所對應到的就是理論預測每年會有多少微中子被探測器量到，即原始資料b的位置，而數字1、2、...對應到的是\(1\sigma\)、\(2\sigma\)、...的位置。所以如果探測器量到的數量在\(2\)或\(-2\)以外，代表有超過95%的信心水準說可能有狀況。通常啦，探測未知的事物並不關心量到的數量比較少 (在0的左方)，這代表訊號可能被屏蔽或是儀器有狀況丟失了訊號，是實驗團隊要handle的事情。探測未知比較在意的反而是量到的數量比預期的多，即0的右方，因為量到的背景微中子數量比預期的多，就代表有不明的源 (unknown source) 貢獻到來到探測起裡的微中子數量，這不明的源可能就肇因於標準模型以外的物理，即新物理！
通常，在物理學我們會用\(2\sigma\)來表示異常，即95%的信心水準相信它偏離預測量，而\(5\sigma\)表示發現，表示99.999%的信心水準相信它偏離異常 (m個\(\sigma\)表示有m個9跟在%前面，通常是四捨五入後啦XD)，即如果真的真的真的這樣的異常是隨機擾動造成的，那麼百萬次測量只有一次才有可能導致這樣的偏差，所以就代表發現了新大陸了！
所以我們以\(2\sigma\)來界定是否有異常而要繼續花錢把實驗催下去，我們便可以改寫Eq. (4.1)，另外由於k是總量到的微中子數，其是背景預期的微中子數b加上新物理貢獻的微中子數s，改寫後的形式是\[2<\frac{\overbrace{b+s}^{k}-b}{\sqrt{b}}=\frac{s}{\sqrt{b}}\tag{4.2}.\]所以如果要偵測到異常，那麼每年來自新物理貢獻的微中子數量\(s\)至少要大於Eq. (4.2)的要求。Eq. (4.2)時常被理論學家拿來引用在論文裡，假如背景數b給定了 (來自標準的物理，所以是可以算出來的)，那麼理論學家就可以計算出手中模型的參數至少要為多少才能導致s達到\(2\sigma\)的閾值！如果你想要m個\(\sigma\)的信心水準，那麼把公式裡的2改成m就可以了，敲簡單！
二、為什麼是Poisson分布？
一定會有人想問：靠！為什麼每年探測器量到的微中子數是一個Poisson分布不是常態分布，是不是在豪洨？啊不是這樣的，我們來解釋一下為什麼不是常態分布。我們先概覽一下探測器的運作，首先要被探測器的光學模組 (optical module, OM) 捕捉到光訊號 (當然光可以來自很多地方，我們就著重在微中子造成的光)，微中子勢必要和探測器中的介質發生反應，反應產生的次級粒子再產生電磁訊號 (即光，但通常不是可見光波段) 被OM捕捉。所以我們可以把這個過程當作微中子發生或不發生反應，發生則會被探測到，不發生則不會 (探測器本身可能有誤差導致訊號miss掉，不過這與我們的討論無關，是探測器團隊的分析才需要著墨的問題)，有沒有ring any bell? 是的，這是一個二項式的白努力試驗問題！就是所謂的丟銅板問題，當我們丟了100次銅板後，假設每次擲出正反面的機率是p，試問出現30次正面的機率是多少？
我們說前面說每年被探測器量到的背景微中子數量，亦即它們是已經被量到的了 (即已經跟探測器介質發生反應)，代表一定還有其它沒有被量到的量啊！所以，若每年大氣產生微中子無以計數顆 (真的是無以計數，也不需要知道)，那麼有N顆來到了探測器內，假設微中子與探測器介質發生反應的機率是\(p=b/N\) (即平均每年來訪的N顆中只有b顆被成功測量到)3，試問量到k顆的機率為何？(就是求機率密度) 透過二項式分布即可以寫下\[P(X=k)=C^N_k p^k (1-p)^{N-k}.\tag{4.3}\]由於N是極大的數，就讓它趨近於\(\infty\)，所以$$
\begin{eqnarray*}
\underset{N\to\infty}{\lim}P(X = k)&=&\underset{N\to\infty}{\lim}C_{k}^{N}p^{k}(1-p)^{N-k}\\
& = & \underset{N\to\infty}{\lim}\frac{N!}{(N-k)!k!}\left(\frac{b}{N}\right)^{k}\left(1-\frac{b}{N}\right)^{N-k}\\
& = & \underset{N\to\infty}{\lim}\frac{N!}{(N-k)!N^{k}}\frac{b^k}{k!}\left(1-\frac{b}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{b}{N}\right)^{-k}, \end{eqnarray*}$$好像有點複雜，沒關係我們先看第一項 \[\begin{eqnarray*}
\underset{N\to\infty}{\lim}\frac{N!}{(N-k)!N^{k}}&=&\underset{N\to\infty}{\lim}\frac{\overbrace{N(N-1)(N-2)\cdots(N-k+1)}^{\text{共}k\text{項}}}{N^{k}}\\&=&\underset{N\to\infty}{\lim}\frac{N^{k}}{N^{k}}\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k+1}{N}\right)\\&=&1, \end{eqnarray*}\]而最後一項也可以用\(b/N\to 0\)使之近似於1，所以便剩下\[\underset{N\to\infty}{\lim}\frac{b^k}{k!}\left[\left(1-\frac{b}{N}\right)^{-N/b}\right]^{-b}=\frac{b^k}{k!}e^{-b}.\]最後一步我們用了\[e=\underset{a\to\infty}{\lim}\left(1+\frac{1}{a}\right)^a.\]所以結論就是在N非常大且Np極小且為定值的狀態下，二項式分布的機率密度趨近於\[P(X=k)=\frac{b^k}{k!}e^{-b}\tag{4.4}\]而Eq. (4.4)正是Poisson分布的機率密度。
這就是為什麼我們可以把每年在探測器裡能夠量到的背景微中子數k視為是Poisson分布的！我們在這裡也證明了前面的文章的遺珠之憾，即我們說Poisson分布可以視為是二項式分布在極限的情況。
這就是為什麼我們可以把每年在探測器裡能夠量到的背景微中子數k視為是Poisson分布的！我們在這裡也證明了前面的文章的遺珠之憾，即我們說Poisson分布可以視為是二項式分布在極限的情況。
3 透過粒子物理的計算，由於微中子的散射截面積非常小 (帶有1 GeV能量的微中子對質子的散射截面積大概是\(\sigma_{\nu p}\approx10^{-43}\,{\rm cm}^{2} \) )，一年來了兆兆兆兆億萬顆可都都沒有一顆會反應，所以b和N真實的比值在這裡並不重要，我們暫時只要知道它非非非非非非常的小而且可以用這樣表示就好了
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